行列式

（1）每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为

n的顺序为标准来比较排列(p₁p₂…p_n)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α₁₂α₂₃α₃₁排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前，所以α₁₂α₂₃α₃₁应带正号；而α₁₂α₂₁α₃₃中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。

(1)称为n阶行列式，有时简记为｜α_ij｜，其中α_ij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即α_ii，称为主对角线(α₁₁α₂₂…α_nn)上的元。

因为n个元的所有排列共有n！个，所以｜α_ij｜共有n！个项。由此可知，

n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，

行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。

任一行列式都有以下性质：

（1）行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA。

（2）行列式A等于其转置行列式A^T(A^T的第i行为A的第i列)。

（3）若n阶行列式|α_ij|中某行 (或列) N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同，则N 称为主子式。

某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式

根据拉普拉斯展开式，两个 n阶行列式｜α_ij｜与｜b_ij｜的乘积是n阶行列式｜с_ij｜，即

设A＝｜α_ij｜是一n阶行列式，则A的伴随行列式是

x₁，y₁)、(x₂，y₂)和(x₃ ，y₃)三点为顶点的三角形的面积是

x₁，y₁)、(x₂，y₂)为边的平行四边形的面积是

G是n维欧几里得空间内有确定面积的有界域，B是G的像。雅可比行列式给出了体积元